www.raves.nl

Deze website is gewijd aan de wiskunde waarbij meetkunde kan worden bedreven door algebraïsche vergelijkingen op te lossen zoals door René Descartes ontwikkeld is. Het (slim) kiezen van een assenstelsel met coördinaten maakt het mogelijk meetkundige stellingen en vermoedens algebraïsch te bewijzen. Stellingen over cirkels en lijnen, parabolen en hyperbolen; koordenvierhoeken; raaklijnen aan cirkels, zwaartelijnen; etc. …. etc. kunnen worden vertaald naar algebraïsche vergelijkingen met a, b, c, d .., x, y en z.
Wat ik tijdens een wiskundeles als vermoeden uitte over drie cirkels die elkaar snijden is het volgende onderwerp: Mijn vermoeden: dat van die 3 cirkeles de koorden door één punt gaan….
Mij leek het een uitdaging om dit eens te bewijzen zonder meetkundige hulp (van grootheden als Thales; Menelaos; Euclides; Plato en vele andere grootheden), zonder literatuur te raadplegen ……..gewoon zelf met potlood en met cartesische coördinaten uitwerken... soms gebruik makend van berekeningen met vectoren. Er bestaat al zoiets in de theorie over "machtlijnen"....
...die ikzelf sinds de HBS (tot 1972) ... niet meer ben tegengekomen.... zie de index links.... Maar mijn bewijs is rechttoe-rechtaan ("straight-forward math"...) alsof je in de vijfde klas zit met wikunde B in je profiel... In het wiskunde-boek voor 5VWO wiskunde B (deel 3) van "Getal en Ruimte" staan enkele juweeltjes van opgaven die hier ook uitgewerkt zijn. Die gaan met name over berekeningen met behulp van vectoren.

De meeste meetkundige bewijzen tonen vernuft; slimme trucjes, listige hulplijnen en zijn veel korter dan de cartesische bewijzen. Een van de lastigste bewijzen op grond van coördinaten is die van de Stelling van Pappos. . . Kijk eens rustig naar het bewijs er van en je verbaast je over een wirwar van variabelen in vergelijkingen die bij het gelijkstellen kwadraten opleveren die echter alle verdwijnen na wegdeling van geschikte factoren; alles netjes volgens de regels van de algebra en zelfs na het bestuderen van alle uitzonderingen “kloppen”! Kijk ook eens naar de eenvoud van het bewijs van de hoogtelijnenstelling, die je met een handjevol regels zo opschrijft! En kijk eens naar De Zwaartelijnstelling......en naar het cartesisch bewijs van De Stelling van Napoleon! (deed die dan ook aan wiskunde?....ja kennelijk wel; ik wist dat ook niet!)
Klik op de link ( in Geogebra; interactief!) om de gelijkzijdige driehoeken van de Stelling van Napoleon te zien transformeren door punt B of punt C te verslepen. Of op een van de andere (interactieve) links.

Eerlijkheid gebiedt mij toe te geven dat niets alles "eventjes" cartesisch te bewijzen is..... Bijvoorbeeld De Stelling van Descartes (zelf!) Of die van Apollonius van Perga. Daar ben ik al wel heel ver gekomen en BIJNA bij een algebraïsche oplossing. Dat is wel zo ongeveer De Opdracht! Bewijs die maar eens met cartesische coordinaten! Je leest er meer over in de link naar De Stelling van Adriaan van Oomen

Daarnaast is er de uitdaging van het cartesische bewijs van De Stelling van Torricelli ..... elegant te bewijzen met afbeeldingen (rotaties over 60 graden) en meetkundig inzicht dat ook van toepassing is bij de Stelling van Napoleon...die het werk van Torricelli vast wel gekend heeft!.... Maar toen ik "eventjes" een cartesich bewijs probeerde knalden allerlei termen met a; b hun kwadraten en allerlei combinaties van product-termen met factoren zoals wortel drie....mij -als vuurwerk- om de oren!.... Een analytisch bewijs is vaak niet zo simpel!
Heel verfrissend is een korte cursus Logica geplaatst speciaal voor 5VWO wiskunde C.
Binnenkort komt hier ook een samenvatting van de Goniometrie.

een foto uit 1999...