www.raves.nl

Nieuw!
Links zie je een link naar de theorie achter de regelmatige vijfhoek en zevenhoek. (een pdf-bestand) Een teleurstellende mededeling over de constructie van een regelmatige zeven-hoek!
In een link (hier links) zie je een korte video van nog geen 7 minuten over "de" (... ahum...) constructie. De vergelijking z^3-7z=7 die hoort bij een regelmatige zeven-hoek...op zich heel mooi, maar...
Tevens zie je de analytische wiskunde achter die van een vijfhoek en achter die van een zeven-hoek ... Eerst in de vorm van een pdf-bestand... Een constructie van een regelmatige vijfhoek inclusief BEWIJS, variant op het werk van Euclides en Robert Edward Grant
Klik links op de video van 25 minuten : Vijfhoek Constructie en bewijs...
Een (cartesisch) bewijs van de Stelling Fagnano... met animaties in het pdf-document en zelfs een video... op de VERVOLGPAGINA!
En ook "iets" over de Stelling van Miquel...
Verder:
Een tweede (cartesisch) bewijs van de Stelling van Pythagoras dat -speciaal voor MAVO-leerlingen gemaakt is, ook weer met een video van dit keer 11 minuten; met uitgebreide uitleg over gelijkvormige driehoeken, verhoudingstabellen en "kruiselings vermenigvuldigen"...
Stelling van Johnson! Een compleet relaas vol inzichten over een stelling over 3 á 4 cirkels die je niet vaak ziet. Hartstikke mooi! En ofschoon het met algebraïsche vergelijkingen begint al gauw overgaat in meetkundige inzichten en ... vectoren! Er is ook een animatie bij... zie links... en een video van ongeveer 20 minuten... Tja, ... ook een link naar een bewijs van De Stelling van Pythagoras zelf! Want deze stelling staat aan de basis van al die cartesische bewijzen. Kan dat ook binnen 10 minuten? Ja kijk maar naar het videofilmpje en het pdf-document van slechts één kantje! Iedere derde-klasser (3HAVO en 3VWO) kan dit volgen! Allerlei stellingen en vermoedens kun je hiermee bewijzen, zoals.... Vermoeden van Raves ...
Over cirkels die elkaar raken.... een vervolgstudie die past in de lijn van Apollonius van Perga en Adriaan van Roomen. Over een ellips en een hyperbool.... ken jij hun definities nog?
Kijk eens in de indexlijst naar het pdf-bestand Hyperbolen Zo niet, dan krijg je bij de video (van Vermoeden) van een HALF UUR (...) hierbij uitleg en LIVE-materiaal te zien

Stelling van De Lange. Stukje schoolwiskunde van hoge kwaliteit! Als een derdegraadsfunctie een grafiek heeft met 2 toppen, dan ligt het buigpunt precies in het midden! Er komt binnenkort naast een cartesisch bewijs, inclusief een korte versie (voor 4VWO) een Geogebra-animatie, met toelichting

Deze website is gewijd aan de wiskunde waarbij wiskunde, algebra en ook meetkunde kan worden bedreven door algebraïsche vergelijkingen op te lossen zoals door René Descartes ontwikkeld is. Het (slim) kiezen van een assenstelsel met coördinaten maakt het mogelijk meetkundige stellingen en vermoedens algebraïsch te bewijzen. Stellingen over cirkels en lijnen, parabolen en hyperbolen; koordenvierhoeken; raaklijnen aan cirkels, zwaartelijnen; etc. …. etc. kunnen worden vertaald naar algebraïsche vergelijkingen met a, b, c, d .., x, y en z.
Wat ik tijdens een wiskundeles als vermoeden uitte over drie cirkels die elkaar snijden is het volgende onderwerp: Mijn vermoeden: dat van die 3 cirkels de koorden door één punt gaan….
Mij leek het een uitdaging om dit eens te bewijzen zonder meetkundige hulp (van grootheden als Thales; Menelaos; Euclides; Plato en vele andere grootheden), zonder literatuur te raadplegen ..gewoon zelf met potlood en met cartesische coördinaten uitwerken... soms gebruik makend van berekeningen met vectoren. Er bestaat al zoiets in de theorie over "machtlijnen...die ikzelf sinds de HBS (tot 1972) ... niet meer ben tegengekomen.... zie de index links.... Maar mijn bewijs is rechttoe-rechtaan ("straight-forward math"...) alsof je in de vijfde klas zit met wiskunde B in je profiel... In het wiskunde-boek voor 5VWO wiskunde B (o.a. deel 3) van "Getal en Ruimte" (11e en inmiddels ook 12e editie) staan enkele juweeltjes van opgaven (o.a. 63 t/m 68) die hier ook uitgewerkt zijn. Die gaan met name over berekeningen met behulp van vectoren.
Deze "schoolwiskunde" is voor leerlingen in de onderbouw van HAVO en helemaal voor MAVO iets te machtig en wil je toch steun en/of bijles hierin, kijk dan eens naar www.serva.nl
Bovendien komen er jaarlijks van Moderne Wiskunde en Getal en Ruimte nieuwe edities uit...
De meeste meetkundige bewijzen tonen vernuft; slimme trucjes, listige hulplijnen en zijn veel korter dan de cartesische bewijzen. Een van de lastigste bewijzen op grond van coördinaten is die van de Stelling van Pappos. (op de vervolgpagina) Kijk eens rustig naar het bewijs er van en je verbaast je over een wirwar van variabelen in vergelijkingen die bij het gelijkstellen kwadraten opleveren die echter alle verdwijnen na wegdeling van geschikte factoren; alles netjes volgens de regels van de algebra en zelfs na het bestuderen van alle uitzonderingen “kloppen”! Kijk ook eens naar de eenvoud van het bewijs van de hoogtelijnenstelling, die je met een handjevol regels zo opschrijft! En kijk eens naar De Zwaartelijnstelling......en naar het cartesisch bewijs van De Stelling van Napoleon! (deed die dan ook aan wiskunde?....ja kennelijk wel; ik wist dat ook niet!)
Klik op de link ( in Geogebra; interactief!) om de gelijkzijdige driehoeken van de Stelling van Napoleon te zien transformeren door punt B of punt C te verslepen. Of op een van de andere (interactieve) links.

Eerlijkheid gebiedt mij toe te geven dat niet alles "eventjes" cartesisch te bewijzen is..... Bijvoorbeeld De Stelling van Descartes (zelf!). Of die van Apollonius van Perga. Daar ben ik al wel heel ver gekomen en BIJNA bij een algebraïsche oplossing. Dat is wel zo ongeveer De Opdracht! Bewijs die maar eens met cartesische coordinaten! Je leest er meer over in de link naar De Stelling van Adriaan van Roomen

Daarnaast is er de uitdaging van het cartesische bewijs van De Stelling van Torricelli ..... elegant te bewijzen met afbeeldingen (rotaties over 60 graden) en meetkundig inzicht dat ook van toepassing is bij de Stelling van Napoleon...die het werk van Torricelli vast wel gekend heeft!.... Maar toen ik "eventjes" een cartesisch bewijs probeerde knalden allerlei termen met a; b hun kwadraten en allerlei combinaties van product-termen met factoren zoals wortel drie....mij -als vuurwerk- om de oren!.... Een analytisch bewijs is vaak niet zo simpel!
Een uitzondering is bijvoorbeeld de Stelling van Stewart! Kijk en verbaas je over de eenvoud!
Kijk naar nog meer prachtige bewijzen (bijvoorbeeld die van de Stelling van Feuerbach) op de . . . VERVOLGPAGINA ... waar ook dat vermoeden over die 3 cirkels staat.
Niet alles is "eventjes" over te zetten naar Analytische Meetkunde, zoals je kunt zien in de link (links) naar trisectie